Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó. Phương trình bậc hai [ sửa | sửa mã nguồn] Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau: Nếu x 1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình thì: Phương trình đa thức bất kỳ. [ sửa | sửa mã nguồn] Cho phương trình: Cho x 1, x 2,..., x n là n nghiệm của phương trình trên, thì: Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau: và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là còn vế trái được tính như sau: nhân với Tổng của: các tích từng cụm k các nghiệm của phương trình trên. Ví dụ phương trình bậc 3 [ sửa | sửa mã nguồn] - Nếu x 1, x 2, x 3 là nghiệm của phương trình thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a 3 tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta: Áp dụng [ sửa | sửa mã nguồn] Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình.
Tim giá trị của m đê' phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ấy. Tim giá trị của m để phương trình có một nghiệm là Xj = -2. Không giải phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại. Cho phương trình (m + 3)x2 - 2(m + l)x - m - 2 = 0. Tim giá trị của m để phương trình có hai nghiệìn phân biệt và tổng của chúng bằng 6. Khi đó hãy tính tích hai nghiệm của phương trình. Giả sử Xị, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Hãy tính X]2 + x22 theo m. > Hướng dẫn - Đáp sô' Đáp sô: a) X, = ỉ, Xọ = ——. b) X, = -1, Xọ - ——. Giải, a) m * 0, A1 = 4(m2 - 4m + 4) - 2m(m + 1) - 4m2 - 16m + 16 - 2m2 - 2m = 2m2 - 18m + 16 = 2(m2 - 9m + 8). A' = 0 khi m2 - 9m + 8 = 0 hay khi m = 1 hoặc m - 8. Khi m = 1 thì nghiệm kép là X] ra $2 = —— = -1. 4m Khi m = 8 thì nghiệm kép là X, - x2 = —-—— = = —. 4m 8 4 b) Phương trình có một nghiệm là X] = -2 khi 2m. (-2)2 - 4(m - 2). (-2) + m + 1 = 0 hay 8m + 8m-16 + m+ l= 0 hay 17m = 15. Do đó m = —. Khi đó theo hệ thức Vi-ét, nghiệm còn lại là: 4(m-2) _ 2m-4 + 2m. 4 Xo - — + 2 = — = 4 —- 2m m m: 4_A-4_ỄỈ-__§_ 15 ~ 15 - 15 ' 17 Giải, a) Trước hết m + 3 0 và phương trình phái có nghiệm.
Chứng tỏ rằng ax + bx + c = a(x - Xị)(x - x2). Áp dụng kết quả trên hãy phân tích đa thức thành nhân tử: a) 4x2 + 7x + 3; b) 2x2 — 5x + 1. > Giải. Ta có a(x - Xị)(x - x2) = a(x2 - XjX - X2X + XjX2) = a[x2 - (xI + x2)x + XjX2]. b c Theo hệ thức Vi-ét, Xj + x2 = —, XịX2 = —. Do đó a(x - Xj)(x - x2) = a.. 2 b 1, c X - - X +- 2 b c = a| X +—X + — 2 = ax + bx + c Áp dụng: a) Giải phương trình 4x + 7x + 3 = 0. Vì4-7 + 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là X j = -1, x2 Vậy4x2 + 7x + 3=4[x-(-l)] = 4(x+l)|x+-^| = b) Giải phương trình 2x2 - 5x + 1 = 0. A = 5 -4. 2. 1 = 25-8= 17. 5 + VĨ7 5-VT7. ' X? =. • 4 2 4 Xj = / Vậy 2x - 5x + 1 = 2 5 + -Ự17 X - — X 4; c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa 25. Trả lời. - a) A = 281, Xj + x2 = ^-, XjX2 = 2.. A = 701, X] + x2 = ^, XịX2 =-7. A = -31 <0. Phương trình vô nghiệm. 2 1 A = 0, Xj + x2 = -—, X]X2 = -Ỵ. 25 26. Đáp sô': a) X1 = 1, x2 = —. c) Xj = -1, x2 = 50. b) Xj = 1, x2 = - d)xj = —l, x2 = 507 7 4300 4321 27. Giải, a) Vì X] + x2 = 7 = 3 + 4, XjX2 = 12 = 3.
Ninh Tâm Vương, 2024